药物中毒问题

2021年2月18日发(作者：厚街医院)
数模作业

-----
施救
药物中毒问题











相关学科成绩

高
姓名

学院

年级专业

学号

联系电话

等

数
学

线
性

代
数

概
率

统
计

数
学

模
型

数
学

实
验

英
语
四
级

英语
六级

史仪男

屈子琪

赵玉洁

弘深学院

弘深学院

弘深学院

12
级电气

12
级电气

12
级经管

20123950
20124153
20120480



87
81
88
70
68
68
81
68
81






545
480
535
535
450





承


诺


书


我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则。

我们完全明白，在 竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮
件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教 师）研究、讨论与赛题有关的问
题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的
,
如果引用别人的成果或其他
公开的资料（包括网上查到的资料）
，必须按照规定的参考文献的表述方式在正
文引用处和参考 文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反
竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。


我们参赛选择的题号是（从
A/B/C/D
中选择一项填写）
：

























我
们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）
：




























所属学校（请填写完整的全名）
：














重庆大学






















参赛队员

(
打印并签名
)
：
1.















史仪男






















































2.















屈子琪
























































3.















赵玉洁


































指导教师或指导教师组负责人


(
打印并签名
)
：












肖剑



























日期：
2014
年
4
月
20
日


摘要

本文研究的是药物中毒后的解救方法，
建立用洗胃方法清除体内毒物的 模型
并比较该方法的效果。


在本问题中，我们假设该孩子送往医院后立即 采取治疗措施（洗胃、渗析、
活性炭等）
，中间时间忽略不计。在进行施救处理时，可采用多种 方法，例如口
服活性炭增加药物排出的速率，
或者进行血液透析，
洗胃法。
药 物中被胃吸收的
部分完全进入血液系统，
即肠道不会储存和吸收药物，
血液系统内药物 的分布即
血药浓度是均匀的。此时可以将血液系统看作一个房室，建立“一室模型”
，将
胃肠中的药物量设为
x(t)
，肠胃中药物向血液中的转移率为λ
x(t)
；血液中的
药物量设为
y(t)
，血液向体外排毒的排除率为μ
y(t)。假设药物的转移率λ和
排除率μ不随身体状况变化，λ仅与
x(t)
有关，μ仅 与
y(t)
有关且λ正比于
x(t)
，μ正比于
y(t)
。 我们建立血液系统与胃室系统的两个微分模型，通过联
系求解以及两模型中初始值的变化，采用
MATLAB
软件来模拟出胃室中药物浓度
的突变过程以及血液浓度随时间变化过程，观察胃肠 中以及血液中的药物含量，
从而判定该施救方法是否有效。

“施救药物中毒”
数学模型是通过药物在人体中血液浓度的变化来观测人体
是否处于正常范围，
如果没有在正常 值内则需要讨论采用活性炭，
血液透析甚至
洗胃的方法来控制血液中的药物浓度。
综合 计算数据，
我们可以得出结论：
如果
送入医院早且误食药物比较多则应该尽早的采用洗 胃的方法；
如果送入医院较晚
且误食药物比较多，
在身体允许的情况下，
应该 尽快采用血液透析的方法加速药
物的排除；如果误食药物比较少，则可以采用活性炭方法加速药物的排除 。







关键词：
一室模型

微分方程模型

施救活性炭

血液透析

洗胃














1

一、问题的重述

两位家长带着孩子急匆匆来到医 院急诊室，诉说两小时前孩子一次误吞下
11
片治疗哮喘病、
剂量
100mg /
片的氨茶碱片，
已出现呕吐、
头晕等不良症状。

按
照药品使用说明书，氨茶碱的每次用量成人是
100
~
200mg
，儿童是
3
~
5 mg/kg
，

过量服用可使血 药浓度
(
单位血液容积中的药量
)
过高，
100
μ
g/ml
浓度会出
现严重中毒
,
200
μ
g/ml
浓度可致命。医生需要判断：孩子的血药浓度会不会达
到
100~200
μ
g/ml
；如果会达到，应采取怎样的紧急施救方案
.
在如何施 救药
物中毒例子中
,
增加方法三洗胃，建模比较该方法的效果。



二、模型假设与符号说明

2.1
模型假设

1)

假设题目中所给数据全部真实可靠。

2)

认为血液系统内药物的分布，即血药浓度是均匀的，可以将血液系统看作一
个房室，建立“一室模型” 。

3)

假设药物中被胃吸收的部分完全进入血液系统，即肠道不会储存和 吸收药
物。
（由于肠道不会吸收药物，
所以认为没有药物可以通过排泄作用而减少）< br>。

4)

胃肠道中药量
x(t),
血液系统中药 量
y(t),
救治后血液里的血药浓度为
z(t)
，时间
t
以孩子误服药的时刻为起点（
t=0
）
。

5)

假设药物的转移率λ和排除率μ不随身体状况变化，
λ仅与
x(t)
有关，
μ 仅
与
y(t)
有关。且λ正比于
x(t)
，μ正比于
y(t )
。

6)

假设该孩子送往医院后立即采取治疗措施（洗胃、渗析 、活性炭等）
，中间
时间忽略不计。

7)

一般中毒较严重的洗胃时间为半小时。

8)

通常，
50 kg
到
60kg
的成人血液总量约为
4000ml
，由于孩子的体重 大约为成
人体重的一半，因此假设孩子的血液总量为
2000ml
。

9)

在实际问题中
,
病人可能因并发症导致生命危险，本模型中 不加考虑，仅考
虑因血液内药物浓度直接导致的中毒症状。

10)

为便于分析，认为洗胃对血液中药物浓度没有直接影响。

11)

假设每次抽洗将胃中药物减小到原来的
50%
。

12)

假设
t=2
时开始采取洗胃疗法，
t=2.5h
时洗胃结束，中间洗 胃三次，每次
10
分钟。

13)

氨茶碱被吸收的半衰期为
5 h
，排除的半衰期为
6 h
。


2.2
符号说明

1)

t
——时间

2)

胃肠道中的药物量为
x(t)
，血液系统中的药量为
y(t)
，以孩子误食药物时
刻为
t=0时刻

3)

转移率的比例常数为λ

4)

排除率的比例常数为μ

5)

y
1
(
t
),
y
2
(
t
)
——活性炭法和血液透析法中血液 系统内药物浓度

2

6)

x
1
(< br>t
),
x
2
(
t
)
——活性炭法和血液透析 法中胃内药物浓度

三、问题的分析

在本案列中，
胃中药物浓度与 血液中药物浓度为关键变量。
其中血液系统对
药物的吸收率与排除率，
由药物的半衰期 决定；
在胃室中，
药物的减少量与血液
中药物的吸收以及洗胃的排除有关。

经查阅资料，
洗胃治疗法通常有两种分类，
一种是催吐洗胃法，
另一种是胃< br>管洗胃法。催吐法一般是指中毒
2h
之内，应立即采取催吐法，而该患者已中毒
2h
，
一般采用第二种洗胃方法。
通过三次洗胃，
每次洗胃可以清洗胃中原有 药量
的
50%
。

应采用微分方程模型，
建立胃室系统药物 浓度与时间的关系与血液系统中药
物浓度与时间的关系，
二者之间的联系是胃室中药物向血液的 转移率与胃室中药
物浓度成正比。
通过三次洗胃，
分段描述胃中药物的含量以及血液中 药物的含量。

四、模型的建立与求解

4.1
模型建立

药物中毒的抢救的模型，
是典型的微分方程模型，
因此，
这里对于三种抢救< br>方法均采用微分方程模型的相关知识求解。

这里将人体分为两个部分，分别为吸收室（ 胃部）与中心室（血液系统）
，
由问题中所述，
可以认为当血液系统中药物总量大于< br>400mg
时，
病人病危，
总量
小于
200mg
时， 病人脱离危险。

方法一：活性炭法；

方法二：血液透析法。
< br>在这两种方法中为我们可以采用一个模型进行求解，
因为活性炭法和血液透
析法都是提高 了药物的排除率（活性炭：
2
倍；血液透析：
6
倍），故只涉及到
计 算时数值的问题，而模型是一致的。

设在一个微小时间
?
t
内胃中药物吸收符合以下等式

：

dx
x
(
t
?
?
t
)
?
x
(
t
)
?
?
?
x
(
t
)
dt
,
由此可得胃内药物的微分方程：
?
?
?
x
。同理血
dt
dy
液系统中的药物符合
y(
t
?
?
t
)
?
y
(
t)
?
(
?
x
?
?
y
)
dt< br>，进而得
?
?
x
?
?
y
。结合边
d t
界条件
x(0)
及药物半衰期可分别得出未施救情况下胃内药物浓度变化
x
(
t
)
及血
液内浓度变化
y
(
t
)
。而急救方法一、二均是提升药物排出率
?
至原先的
2
倍及
6
倍。只需修改
?
并结合边界条件
y
(
2
)?
y
1
(
2
)
?
y
2
(2
)
并重解方程即可得施救后血
液浓度曲线
y
1
(t
),
y
2
(
t
)
。

方法三：洗胃法；

由前述可知，每次洗胃时，先将洗胃液用管子注入胃中，
10
分钟后抽出，
管子插入和抽出的时间忽略不计。在这
10
分钟内，认为胃 中药物继续以相应的
转移率进入血液系统。每次抽取后，胃中药品剩余原先胃中药物总量的
50 %
。

3

4.2
模型求解

我们可以 定义血药浓度为血药浓度
=
血液中的药量
/
血液总量，
x(t)下降速度
与
x(t)
成正比
(
比例系数
?
)< br>。由此可得


x
(
t
?
?
t
)
?
x
(
t
)
?
?
?
x
(
t
)
dt


由初值条件
x(0)=1100
可知，


x
(
t
)
?
1100
e
?
?t


药物吸收的半衰期为
5 h
，由此可得，


1100
e
?
?
t
?
1100
/
2


所以
?
?
(
ln
2
)
/
5
?
0
.
1386
(
1
/
h)

y(t)
由吸收而增长的速度是
?
，由排除而减少的速度与
y(t)
成正比
(
比例系数
dx
?
?
?
x

dt
?
).

由初值条件
y(0)=0
可知，


y
(
t
)
?
1100
?
?
?t
(
e
?
e
?
?
t
)
?
?
?
dy
?
?
x
?
?
y< br>?
?
?
y
?
1100
?
e
?
?
x

dt
由于药物的半衰期为
6h
，此时只考虑血液对药物的排除，有

dy

?
?
?
y

dt
可知，

y
(
t
)
?
ae
?
?
(
t
?
?
)

由
y
(
?
)
?
a
,
y
(
?
?
6
)
?
a
/
2
可知，


?
?
(ln
2
)
/
6
?
0
.
1155
（
1
/
h
)

因此，胃肠中的药物浓度为


x
(
t
)
?
1100
e
?
0.
1386
t

血液系统中的药物浓度为

< br>y
(
t
)
?
6600
(
e
?
0
.
1155
t
?
e
?
0
.
1 386
t
)
，

7
13
?
t
?

3
6
4




当采取口服活性炭时，μ增大为原来的
2
倍。此时，
y
(
t
)
?
1650e
?
0. 1386
t
?
1609.5e
?
0.2310
t
,
5

t
?
2



当采用体外血液透析时，
μ
可增至
0.1155
×
6=0.693
，
λ
=0.1386
，此时

d
y
?
?
x
?
?
y
，
t
?
2

，
x
?
1100e
?
?
t
，
y
(2)
?
236.5
，

d
t
解出：

y
（
t
）
=exp (-(693*t)/1000)*((473*exp(693/500))/2 - 275*exp(693/625)) +
275*exp(-(693*t)/1000).*exp((693*t)/1250);



当采用洗胃治疗法时，在
t=2
时刻注入洗胃液，< br>10
分钟后取出胃中药物总量的
13
50%
，这
10
分钟内，
x
(
t
)
?
1100e
?
?t
，
?
t
?
0

6
13
?
?
13
第一次抽出的量为

0.5
?
x
(
)
?
550e
6

6
抽出后立即再次注入洗胃液，
10
分钟后取出胃中剩余药物总量的
50%
，

6