北京治疗青春痘的医院电子、空穴和能带概念

2021年2月23日发(作者：最好的肿瘤医院)
第一章

电子、空穴和能带概念

第一章

电子、空穴和能带概念

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§ 量子力学基本概念

一、经典物理的缺陷以及量子力学的引入

1.
黑体辐射问题

2.
光电效应

3.
普朗克假设、爱因斯坦的波粒二象性

4.
德布罗衣假说

二、薛定颚方程

三、波函数的统计解释

§ 利用薛定颚方程求解氢原子

§ 能带模型

一、晶格

二、能代理论

1
．单电子近似

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2
．布劳赫定律（
Bloch
）

........... .................................................. ...............................
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3
．共有化运动和准自由电子

.................... .................................................. ...................
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4.
布里渊区与能带

....................... .................................................. ........................
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5
、导体、半导体、绝缘体的能带

.................. .................................................. .................
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§

半导体中电子的运动

有效重量

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一、半导体中
E(k)
与
k
的关系

二、晶体中电子的平均速度

加速度

1
．晶体中电子运动的平均速度

................... .................................................. ..................
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2
．半导体中电子运动的加速度

................... .................................................. ..................
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3
．有效质量的物理意义

...................... .................................................. .....................
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4.
空穴的有效质量

....................... .................................................. ........................
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习题

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§

量子力学基本概念

经典物理的两个独立理论体系：波动学说、粒子学说。当时绝大多 数的现象可以用经典理论物
理学解释：


应用
Newton
方程成功讨论了从天体到地上各种尺度的力学客体的运动，
将这个理论用到分子运动
上，在气 体分子运动论上也获得有益的结果。


1897
年
.
汤姆 森发现了电子，这个发现表明电子的行为类似于一个
Newton
粒子。


光的波动本性已在
1803
年由杨的衍射试验证实

?
d< br>2
I
?
4
I
0
cos
(
sin?
),

I
0
?
E
0
光的强度

?
2

Maxwell
在
1864
年所发现的光和 电磁现象之间的联系将光的波动性置于更加坚实的基础之上。



一、经典物理的缺陷以及量子力学的引入

到上世纪初，在解释某些试验结果上还遗留一些困难：


主要是关于发展< br>一个合适的原子模型
以及稍后发现的
X
射线和放射性
等。


也有一些困难属于那些应该得到解释而实际上未能解释的现象：诸如
黑体辐射的谱分 布，固体的
低温比热
等。


虽然光的波动性有大量的实验事实和光 的电磁理论支持，但上世纪初发现的黑体辐射、光电效应
等现象却揭示把光仅看作波的局限性。

1.

黑体辐射问题

我们知道，
所有物体都发射出热辐射
，
这种辐射是一定波长范围内的电磁波
。对于外来的辐射，
物体有反射或吸收 的作用。

如果一个物体能全部吸收投射在它上面的辐射而无反射，
这种物体就称为绝 对黑体，简称黑体
。

黑体辐射问题研究的是辐射与周围物体处于平衡状态时能量按波 长
/
频率的分布。
一个空腔就可
以看成黑体，当空腔与内部的辐射处于平衡时 ，腔壁单位面积所发射的能量和它所吸收的辐射能量
相等。实验得出的平衡时辐射能量密度按波长分布曲 线，其形状和位置只与黑体的绝对温度有关，
而与空腔的形状及组成的物质无关。许多人用经典物理理论 来说明这种能量分布都未获得成功：

(1)

维恩（
Wien）
：由经典热力学理论出发进行讨论，并加上一些特殊假设得出的分布公式——维
恩公式。
这个公式在短波部分与实验结果还符合，在长波部分显著不同
；

(2)

瑞利－金斯曲线
，根据经典电动力学和统计物理学得出的黑体辐射能 量公式分布。
他们的结果
在长波部分与实验结果较吻合，而在短波部分完全不同
。
瑞利—金斯线

能
量
密
度

普朗克线

维恩线

波长（厘米×
10
4
）


2.

光电效应

当光照射到金属表面时，有电子从金属中逸出，这种电子称为光电子。实验 证明，只有当光的
频率大于一定值时，才有光电子发射出来；如果光的频率低于这个值，则不论光的强度 多大，照射
时间多长，都没有光电子产生，光电子能量只与光的频率有关。

光电效应 以及黑体辐射实验的这些规律、现象是经典物理理论无法解释的。因为按照光的电磁
理论，光的能量只决 定于光的强度，而与光的频率无关。

3.

普朗克假设、爱因斯坦的波粒二象性

黑体辐射问题是
Planck
普朗克在
1900
年引进量子概念后才得到解决。普朗克依据如下假设解
释黑体辐射谱 的：
黑体以
h

为单位不连续地发射和吸收频率为

的电磁 辐射，
而不是象经典理论
所要求的那样可以连续地吸收和发射辐射能量。能量单位
h< br>
称为能量子
h(
普朗克常数
)
。
h
＝×< br>10
－
34
焦耳
.
秒。基于这个假定，普朗克得到与实验结果 符合很好的黑体辐射公式：

8
?
h
?
1
?
?
d
?
?
d
?
3
h
?
/
kT
c
e
?
1
3

普朗克的理论开始突破经典物 理学在微观领域内的束缚，打开了认识光的微粒性的途径。按照
光的电磁理论，光的能量只决定于光的强 度，而与光的频率无关。但是，光电试验证明：


只有当光的频率大于一定值时，才有光电子发射出来；


如果光的频率低于这个值，则不论光的强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生；


光电子能量只与光的频率有关，而与光的强度无关，光的频率越高，光电子的能量就越大。


光的强度只影响光电子数目，按照光的电磁理论，光的能量只决定于光的强度，而与光的频< br>率无关。

爱因斯坦认为电磁辐射不仅在被发射和吸收时以能量
h
光速 在空间运动，也就是说光照射到金属表面时，能量为
h

的微粒形式出现，而且以这种形式以

的光子被电子吸收。电子把这能量的
一 部分用来克服金属表面对它的束缚力，另一部分就是电子离开金属表面后的动能。

如果电子所 吸收的光子能量小于金属的逸出功，则电子不能脱出金属表面，因而没有光电子产
生。光的频率决定光子 的能量，光的强度只决定光子的数目，光子多，产生的光电子就多。这样，
经典理论不能解释的光电效应 就得到了解释。


(1)

康普顿效应
(Compton effect)

1923
年，美国物理学家康普顿在研究
x
射线通 过实物物质发生散射的实验时，发现了一个新的
现象，即散射光中除了有原波长
l
0< br>的
x
光外，还产生了波长
l
>
l
0
< br>的
x
光，
其波长的增量随散射角
的不同而变化。这种现象称为康普顿效 应
(Compton effect)
。

用经典电磁理论来解释康普顿效应 遇到了困难。康普顿借助于爱因斯坦的光子理论，从光子与
电子碰撞的角度对此实验现象进行了圆满地解 释。

康普顿效应第一次从实验上证实了爱因斯坦提出的关于光子具有动量的假设。光子在介质 中和
物质微粒相互作用时，可能使得光向任何方向传播，这种现象叫光的散射。
他认为：


康普顿假设光子和电子、质子这样的实物粒子一样，不仅具有能量，也具有动量，碰撞过 程
中能量守恒，动量也守恒。
光子和电子碰撞时，光子的一些能量转移给了电子。


按照这个思想列出方程后求出了散射前后的波长差，结果跟实验数据完全符合，这样就证实< br>了他的假设。这种现象叫康普顿效应。

康普顿效应的发现，进一步证实光具有粒子性。
实验证明，高频
X
射线被电子散射后，波长随
散射角增加而增大
。而 按照经典电动力学，电磁波被散射后波长不应改变。

碰撞前：
光子动量＝
?
/
c
,

电子动量＝
0
光子能量＝
?
,

电子动能＝
0
碰撞后：
光子动量＝
?
?
/
c
,

电子动量为
光子能量＝
?
?
，
电子动能为＝
由于碰撞前后动能守恒：
?
?
1
?
＝
?
?＋
?
c
?
?
1
?
?
?
22
1
?
v
/
c
?
?
动量守恒
2
2
?
v
1
?
v
/
c
2

x
方向：
?
c
2
1
?
v
/
c
2
2
?
?
c
2
?
/
c
＝
?
?
cos
?
/
c
＋
y
方向 ：

?
v
1
?
v
2
/
c
2
sin
?
?
cos
?
?
?
?
/
c

?
/
c

??
1
?
?

?
?

?
2
c
2


1
?
v
2
/
c
2
2
2
?
最后得到：
?
－< br>?
?
＝
2
??
?
sin
2
?
c
4
?
2
?

?
?
?
?
?
?
?
?
?
sin
?
c
2

0
?
?
?
sin
?< br>/
c
-
?
v
(2)

旧量子论
< br>所谓的旧量子论发端于普朗克关于黑体辐射的工作，以后由爱因斯坦和德拜加以发展。然而，
只有 到
1911
年，卢瑟福发现原子是由小的、重的、带正电的核以及围绕着它的一些电子构成之后 ，
这个理论才能定量描述原子。旧量子论（波尔－索末非量子化定则的两个假设）
：


一个原子体系能够存在于一些特定的稳定的或量子化的状态，每一个状态同体系的一个确定能 量
相对应；


从一个定态向另一个定态的跃迁，伴随着能量的获得或损失，其值等于两个态之间的能量差；


辐射量子的频率等于它的能量除于普朗克常数。

旧量子论使得人们获得了 对氢原子结构的解释，但在若干不同的方面，它遇到了困难：它不适
用于非周期系统；对谱线强度只能给 出定性的不完整的处理；对光的色散也不能给出满意的说明等
等。衍射试验可以说明旧量子论的困难：< br>

光源
S
照明一个光阑
A
，
A
上 割有两个狭缝，衍
射花样出现在光敏屏
B
上，在衍射峰处光子的数目最
多。这 样，当辐射从光源经狭缝到屏的过程中行为象
波。而当它从
B
碰出电子时，行为象粒子 。

A
B

用物质代替辐射也可以作出类似试验。电子被晶体散 射所形成的衍射花样
，可以从威尔逊云室
中电子径中看出。
所以，物质的波动性和粒子 性可以出现在同一试验中
。


起初我们或许可以
假定衍射花样是通 过两条狭缝的不同光子之间的干涉引起的，
若这样就完
全可以用粒子图像解释观测结果
。然而，可以证明这并不是一个满意的解释。当我们减弱光强直到
每次只有一个光子在光源和光屏之间通 过，仍然可以得到相同的衍射图案。
因此，我们只能得到这
样的结论，衍射是单个光子的统计结 果，并不涉及到光子之间的相互作用
。


由粒子图像观点来看，
我 们就可以问：
一束由独立的光子构成的流束
（可以假定其中每个光
子只能通过一条狭缝 ）怎么会产生仅当两条狭缝都开着时才会出现的衍射花样或者这样问：若当一
条狭缝关闭时，光子会到达 屏上某一位置，然而当这条狭缝敞开时，它怎么会阻止不通过这条狭缝
的光子到达屏上的上述位置


在这个问题上隐含这样一条假定：
光子的确是穿过这两条狭缝中的特定一条，< br>从经典理论或
旧量子论的观点来看，这个假定是自然的：因为这些理论认为，光子或其它粒子在每 一瞬时都具有
确定的可测定的位置。
然而，量子力学却放弃这个假定，它主张只有当实验中包含 位置测量时，光
子的位置才有意义。此外，实验的这一部分将会影响其余部分，不能把它们分开考虑。因 此，从新
量子观来看，
上一段所提出的问题本身就没有意义，
因为它假定光子通过两条 狭缝中特定的一条
（从
而使得另一条狭缝关闭）
，而在试验中并没有用来确定光子实际 上是穿过哪一条狭缝的设备。

4.

德布罗衣假说

在光 有波粒二象性的启示下，
德布罗衣
1924
年提出了微观粒子也具有波粒二象性的假说 。
他把
粒子和波通过粒子的能量
E
、动量
P
与波的频率f
、波长之间的关系联系起来：

E
?
h
?
?
?
?
?
?
h
?
P
?
n
?
?
k
?

上式称为德布罗衣公式，或德布罗衣关系。自由粒子的能量 和动量都是常量，所以，由德布罗衣关
系可知，
与自由粒子联系的波，
它的频率、传输方向都不变，
因而其为平面波。
德布罗衣假设在
1927
年为戴维森 —盖么的电子衍射实验所证实。

测不准原理：

?
x
?< br>?
p
x
?
?
?
?
?
?
J< br>z
?
?
?
t
?
?
E
?
?< br>
为了用更专门的物理语言来阐明测不准原理，玻尔在
1928
年引进
并协原理
。
这个原理说，对原
子现象的描述不可能象经典力学所要求得那种完全性；在 构成一个完全经典描述中相互并协的各个
量，实际上却是相互排斥的，而为了描述现象的各个方面，这些 互相并协的量又都是必不可少的。
不应当把这一点看成是因为实验技术或精度的欠缺。更恰当地说，这是 一条自然规律：每当企图精
确的测量一对正则变量中的一个，另一个就会发生变化，这个变化值在不干扰 到原来目的的情况下
是不能被严格地计算出来。

旧量子论与量子论的区别：


旧量子论：认为微观粒子有着固定的轨道，可以用确定的运动学参数进行描述（在这一点上，
实际上把微观粒子看作为经典力学中的质点，然后，利用经典力学分析微观粒子）
，粒子在不< br>同能级间跃迁通过吸收或释放电磁辐射量子实现；


量子论：微观粒子具有波粒二象性，微观粒子服从测不准原理。

二、薛定颚方程

1.

薛定颚方程的导出

由德布罗衣关系

E
?
h
?
?
?
；
P
?
h
?
n
?
k

及测不准原 理应当可以预料到，代表着位置完全不能确定、已知精确动量
P
和能量
E
、沿 着正
X
方向
行进的粒子的波函数

(x, t)
，将有下列形式之一：

cos(
kx
?
?
t
),

sin(
kx
?
?
t
),

exp[
i
(
kx
?
?
t
)],
exp[-
i
(
kx
?
?
t
)]
这也是从戴维森及盖哥实验推知的。由前已知与确定能量、动量粒子相对应的波具有平面波特性，
因 而可以写成：

?
(
x
,
t
)
?
A
cos[
2
?
(
x
?
?



?

A
cos[
k
?
r
??
?
t
]
?
?
写成复指数形式
?
(< br>x
,
t
)
?
A
ex
p
j
[
k
?
r
?
?
?
t
]
，进一步利用 德布罗衣关系可得：

?
?
f
?
t
)]
?
A
cos[
2
?
(
?
?
r
?n
?
?
f
?
t
)]
?
?
?< br>(
x
,
t
)
?
A
exp[
j
(
p
?
r
?
E
?
t
)
/
?
]

进一步推导

?
?
j
?
?
?
?
E
?
?
j
?
E
?
?
t
?
t
p
x
p
x
?
?
i
?
A
?
(
j
)
exp[
(
p< br>x
x
?
p
y
y
?
p
z
z< br>)]
?
j
?
?
x
2
2
p
x
p
x
?
2
?
i
?
?
A
2
exp[
(
p
x
x
?
p
y
y?
p
z
z
)]
?
?
2
?
2< br>?
x

?
?
?
?
2
?
y< br>2
p
2
y
2
p
z
?
2
?< br>?
；
2
?
?
2
?

2
?< br>z
P
2
利用自由粒子能量和动量关系式：
E
?
2m
，可得：

?
?
?
2
i
?
?
?
?
2
?

?
t
2
m
此即
自由粒子的薛定颚方程
。同时，由上面推导过程可推出：

?
?
E
?
?
i
?
?
t
?
?
(
P
?
P
)
?
?
(
?
i
?
?
)(
?
i
?
?
)
?

?
?
?
E
?
?
i
?
,

P
?
?
i
?
?
?
t
这两个算苻依 次分别称为
能量算苻、动量算苻
。

现在利用这两个算苻来建立在外场中粒子 波函数所满足的微分方程。
设粒子在外场的势能
U(r)
，
这样，粒子的能量 就可以利用汉弥顿算苻表示为：

?
P
2
E
?
?< br>U
(
r
)

2
m
上式两边同乘以波函数后

?
P
2
E
?
?
?
?
U
(
r
)
?
2
m
代入能量、动量算苻后，上式变为：


?
?
?
2
2
i
?
?
?
?
?
?
?
U
(
r
)
?
?
t
2
m
2 .

多粒子系统的薛定颚方程


这个方程称为薛定颚波动方程，它 描写势场
U(r)
中粒子波函数随时间的变化。

对于
n
个 粒子所组成的多粒子体系。以
r1
，
r2
，…，
rn
表示这 个
n
粒子的坐标，那么描写体系
状态的波函数
是
r1
，r2
，…，
rn
的函数，整个多粒子体系的能量由哈密顿算苻可得
P
i
?
?
?
E
?
?
?
U(
r
1
,
r
1
,
?
,
rn
)

2
m
i
?
1
i
n2
式中
m
i
为第
i
个粒子的质量，
P
i
为第
i
个粒子的动量，而
U(r
1
，
r
2
，…，
r
n
)
则是整个系统的势能，
它包括体系在外场中的能量和粒子间相互作用能量。在做

?
?
E
?
i
?
,

P
i
?
?
i
?
?
i

?
t
变换后，可以得出多粒子体系的薛定颚方程
:

??
?
?
?
2
i
?
?
?
??
?
i
?
?
U
(
r
1
,r
1
,
?
,
r
n
)
?
?t
i
?
1
2
m
i
n
2

3.

定态薛定颚波动方程

一般势函数是时间
t
的函数。如果假定势能与时间无关，那么可以利用分离变量求解上式

?
?
?
(
r
,
t
)
?
?
(
r
)
f
(
t
)

将上式代入薛定颚方程，

?
?
?
2
2
i
?
?
?
?
?
?
?
U
(
r
)
?
?
t
2
m
两边同除以上式


i
?
df
f
dt
?
1
?
[
?
?
2
m
?2
?
?
U
(
r
?
)
?
]
令上式两边等于
H
，上式可变为下列两式

i
?
df
dt
?
Hf
?
?
2
m
?
2
?
?
U
(
r
?)
?
?
H
?
由第一式得到：

f
(< br>t
)
?
c
exp(
?
i
H
t
)

将上式代入
?
(
r
?
?
,
t
)
?
?
(
r
?
)
f
(
t
)
，可得

?
(
r
?
,
t)
?
c
?
?
(
r
?
)
exp (
?
i
H
?
t
)




比较上式和德布罗衣波函数形式

?
(
r
?
,t
)
?
A
ex
p
j
[
k
?< br>?
r
?
?
?
?
t
]

1
）






（

显然，
H
/
?
应为
?
，而由德布罗衣关系可知：< br>E
?
?
?
，由此可以得到
H
——
E
。因而，体
系处于（
1
）式所描写的状态时，能量具有确定值，所以这种状态称为定态 。而形如

?
?
2
?
?
?
?
U< br>(
r
)
?
?
E
?
2
m
的方 程称为
定态薛定颚方程
。

2

?
?
?< br>?
2
2
?
?
U
(
r
)
称为 能量算苻，又称
?
?
U
(
r
)}
?
?E
?
，因而将
?
由于
{
?
2
m
2
m
为哈密顿算苻。当
U
＝
0
时，对应的是自由空间中粒 子的薛定颚方程，如果
m
为电子质量，则可以通
过求解

2
?
2
2
?
?
?
?
E
?
2
m
此方程的一维解为


?
(
x
)
?Ae
i
2
?
kx










（
1
）