香橙果冻一维光子晶体的能带结构研究

2021年2月23日发(作者：芫荽的功效)
贵州大学毕业论文

目录

摘

要
... .................................................. .........
I
I
Abstract................. .........................................
I
II
前

言
................... ...........................................
I
V
第一章

光子晶体

.......... .........................................
1

1.1
光子晶体简介

............ ...................................
1

1.2
光子晶体的结构

.............................................
1

1.3
光子晶体的特性

.............................................
2

1.3.1
光子晶体具有周期性结构
.......... ......................
2

1.3.2
光子 晶体具有光子禁带
..................................
3

1.3.3
光子晶体能抑制自发辐射
.......... ......................
3

1.3.4
光子 晶体具有光子局域
..................................
4

第二章

一维光子晶体的能带结构研究

.................................
5

2.1
研究一维光子晶体能带的方法

.................................
5

2.1.1
特征矩阵法
.......................... ..................
5

2.1.2
平面波展开法
..........................................
6

2.2
一维光子晶体的能带结构研究

.................................
8

第三章

一维光子晶体的特征

........................................
1
1
3.1
光子禁带

............. .....................................
1
1
3.2
光子局域

........................ ..........................
1
2
第四章

一维光子晶体光带隙性能的影响因素探讨

......................
1
5
4.1
周期数的影响

..............................................
1
5
4.2
折射率比值的影响

..........................................
1
5
4.3
中心波长的影响

............................................
1
6
第五章

结论
................ .......................................
1
9
参考文献
...................................... .....................
2
0
致

谢................................................ ..............
2
1

贵州大学毕业论文


一维光子晶体的能带结构研究


摘

要


在当今世界，科学家们在不断研究大规模集成电路时发现由于电子的特 性，
半导体器件的集成快到了极限，
而光子有着电子所没有的优越特性：
传输速度快，
没有相互作用。
所以科学家们希望能得到新的材料，
可以像控制半导体中的电子
一样，
自由地控制光子，
即光子晶体。
随着科学技术的发展特别是制造工艺技术的发展，
使得光子晶体的制造不仅变得可能，
还得到了长足的进步，
在可见光及< br>红外波段可以制成具有所需能带结构的光子晶体，
实现对光子的控制。
本论文主
要对一维光子晶体的能带、
禁带进行深入地研究，
这对设计和制备一维光子晶体
具有指 导意义。
本论文拟采用薄膜光学理论，
分析光波在一维光子晶体中的传播
特性，
探讨光子晶体膜层的折射率、
周期数、
中心波长等对一维光子晶体光带隙
性能的影响 ，从而为一维光子晶体的设计提供参考。


关键词：
光子晶体

能带结构

特征矩阵法

平面波展开法










II

贵州大学毕业论文


The Investigation on the Band Structures of
one-dimensional photonic crystal

Abstract

The
concept
of

crystals
was
put
forward
by

and
E.Y
abloncvitch
in
1987.
But
now
Scientists
constantly
study
Integrated
Circuit
and
find
that
the
integration
of
semiconductor
devices
has
been
the
limit
because
of
the
characteristics of
the electronic.
And the photon
has the advantage of
high
speed,
no
interaction,
which electron does
not
have. So scientists want to
get the
new
materials
to free to control photon. With the development of science and technology
, especially
the development of the
manufacturing technology, the photons crystal
manufacturing
not only become possible, also had a
great progress. In visible and
infrared
light,
it
is
possible to make into photonic crystal that band structure was required, and realize the
control of the
light. So
in recent
years, photonic crystal
has been studied and applied
extensively.

Key
Word
:
photonic
crystal,
band
Structures,
eigen
matrix
method,
plane
wave
expansion method







III

贵州大学毕业论文


前

言


1987
年，美国
UCLA
电机系的
Eli Yablonovit ch
教授在研究如何减少激光浪费于
自发辐射（
spontaneous emission
）的能量和加拿大
University of Toronto
物理系的
Sajeev John
教授研究光子是否也能像电子被存在 缺陷的晶体束缚时
[1][2]
，不约而
同地提出了一个概念，
这就是能将人 们带进光信息时代的光子晶体。
光子晶体这
个名字还未被人熟知，然而就像
20
世纪初人们对
Si
这种半导体材料的懵懂一样，
也许在
21
世纪末 的时候，
大家都对这个名词耳熟能详。
想象一下，
你的办公桌上
摆放着运算速 度成百上千
GHz
的高速电脑，使用的是传输速率高于传统光纤数十
倍的光子晶体光纤 。
自然科学的研究大多数起源于对自然界各类现象的假设开始
的，光子晶体的提出也是如此。光 子晶体这种人工微结构与半导体微结构相比，
其量子单元是光子，
而半导体微结构的量子单元是 电子。
光子具有许多电子所没
有的优点，如光子在光子晶体中传播比电子在金属中传播快，自旋 为
1
的光子是
玻色子，它们之间没有电子间的强相互作用，这样可以减少不必要的能量 损耗。
所以光子晶体的前途光明，
受到大量科学家关注，
已然成为当今科学发展的重要
课题。

光子晶体是一种具有光子带隙（
PhotonicBand-Gap
，即
PBG
）且介电常数按
一定周期排列变化的人工周期性结构材料，
按照周期性结构的不同，
可以分为一
维光子晶体、
二维光子晶体、
三维光子 晶体。
它可以对光子在晶体中传播的状态
进行调制，
只要掌握好各种因素对光子晶体的 影响，
从而设计出需要的光子晶体，
理论上人们就可以达到任意控制光子运动的目的。
光子晶体种种独特的优点及潜
在的广泛应用使得众多学者对它进行深入研究。
目前人们已利用这 些效应设计出
多种光子晶体器件，
如光子晶体光纤、
光子晶体开关、
光子晶体 激光器、
光子晶
体波导、光子晶体滤光器等
[3][4][5]
。光子晶体< br>(
又称光子禁带材料
)
的出现，使人们
操纵和控制光子的梦想成为可能 。
本文试图通过薄膜光学理论，
分析光波在一维
光子晶体中的传播特性，
对折 射率、
周期数、
中心波长等对一维光子晶体光带隙
特性的影响进行全面的认识。

IV

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第一章

光子晶体


1.1
光子晶体简介

光子晶体（
Photonic
Crystal
）即光子禁带材料，从材料结 构上来说，它是
一种与半导体材料相似，
具有某种周期性结构的晶体，
而这种呈现介电 常数周期
性变化的特性，使得光子晶体能够调制某限定波长的电磁波。


图
1.1.1
光子晶体

人们所研究的光子晶体一般是人工制备 的，
但其实在自然界中早就有天然光
子晶体存在。
蝴蝶翅膀是由鳞片重叠构成，
这些鳞片只有
3
—
4
微米厚，
互相交迭，
每个鳞片的构造 也很复杂。
蝴蝶翅膀的鳞片这种呈一定规律的排列形成了光子晶
体，
它们之所以展现出 斑斓色彩，
正是由于鳞片上排列整齐的次微米结构
（光子
晶体）
选择性的反射 自然光的结果，
当日光进入蝴蝶翅膀的夹角产生变化时，
会
使蝴蝶翅膀反射不同频率的 光。
自然界中的天然光子晶体还有孔雀的羽毛、
海老
鼠的脊椎、蛋白石。


1.2
光子晶体的结构

晶体是指内部质点呈周期性重复排列 的固体，
其特点是长程有序。
起初能带
结构理论（
Energy
band
theory
）主要是用来探讨在晶体（导体、半导体、绝缘
体）
中电子的运动状态及其性质的，
它把半导体晶体中每个电子的运动看成是独

1
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立 在一个等效势场中的运动，
当电子在晶体中传播时，
会受到一个周期性势场的
作用，< br>运动的电子受到周期散射时形成了能带结构，
能带与能带间存在带隙，
电
子波的 能量落在带隙中就无法传播，这个带隙称之为禁带
[6]
。光子也是这样的情
况，光子晶体是人造的介电常数呈周期性变化的晶体，
当光子在光子晶体中传播
时，
由 于存在布拉格散射而受到调制，
光子能量形成能带结构。
能带与能带之间
出现空隙，< br>即光子带隙。
波长分布在光子带隙中的光子将无法传播，
已达到控制
光子的运动 。

光子晶体按照晶体的分布排列可以分为：
一维、
二维和三维光子晶体。< br>其中
一维光子晶体
（如图
1.2.1a
）
的研究其实很早就已 经开始了，
统称为多层膜，
这
种光子晶体只在一个方向上存在介电常数周期性排列，< br>所以光子带隙只存在这个
方向；
二维光子晶体
（如图
1.2.1b）
是指在两个方向上存在介电常数周期性排列，
光子带隙就出现在这个两个方向上；
三维光子晶体
（如图
1.2.1c
）
是指在三个方
向上都存在介电 常数周期性排列，光子带隙可以全方位的出现。


图
1.2.1
一维光子晶体、二维光子晶体和三维光子晶体周期性排列的方向


1.3
光子晶体的特性

1.3.1
光子晶体具有周期性结构

光子晶体是一种介电常数周期性排列的材料，它的周期性排列可以是一维、
二维和三维的，
正 是由于这种周期性结构才形成了光子禁带，
当某一种波长的光
落在禁带中时，
这种光就 被严格禁止传播。
这与半导体晶体的某些特性相似，
但
光子晶体与半导体有着本质的区 别，见表
1.1.1
。





2
/
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表
1.1.1
光子晶体与半导体的特性比较


结构

光子晶体

不同介电常数的周期分布

半导体

与晶格周期相同的周期性势场，
具
有原子尺寸

研究对象

电磁波在晶体中的传播，
光子是玻色子，
电子的输运行为 ，电子是费米子，
自旋为
1
自旋为
1/2
薛定谔方程

标量波

有很强的相互作用

电子禁带、缺陷、表面态

特征方程

波性质

相互作用

特征

Maxwell
方程

矢量波

无

光子禁带、光子局域


1.3.2
光子晶体具有光子禁带

光子禁带（
photonic band gap< br>）是光子晶体最根本的特性，频率落在禁带
中的电磁波，
将会被严格地限制传播，
不论它的传播方向如何。
光子晶体的周期
性排列结构和介电常数的比值会影响光子禁带，比例越大，
出现光子禁带的概率
就越大。
光子晶体结构几何对称性越差，
其能带简并度越低，
出现光子禁带的概
率就越大。
光子带隙分为完全光子带隙和不完全 光子带隙。
完全光子带隙就是具
有全方位的带隙，
例如三维光子晶体，
当某一 频率的光子无论其偏振方向和传播
方向如何都将被禁止传播；
不完全光子带隙就是只在某一方向 或特定方向有
PBG
，
一定频率范围的光子会在特定的方向被禁止传播
[6]
。


1.3.3
光子晶体能抑制自发辐射

很久以前就有人提出可以通过某些手段来抑制自发辐射，
但在当时没有受到
人们的重视，
直到光子晶体出现后，
人们才开始改变看法。
自发辐射是物质与场
相互作用的结果， 而不是物质本身具有的性质
[7]
。自发辐射发生的几率是与光子
所在的频率的态密度 成正比关系，
当原子被放在一个光子晶体中，
它自发辐射的
光子频率正好落在光子禁带 中时，
由于该频率的光子的态密度为零，
因而自发辐
射的几率为零，
自发辐射 也就被抑制。
如果在光子晶体中加入高品质的杂质，
也

3
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可以加强自发辐射的。因为加 入杂质后，光子晶体中存在很大态密度的杂质态，
这样就会增强自发辐射
[8]
。

1.3.4
光子晶体具有光子局域

光子局域是光子晶 体的另外一个具有广泛潜在应用的特性。
与光子禁带的特
定禁止传播所不同，
光子局域 则是允许特定频率的光子在引入某种程度缺陷的光
子晶体中传播。
在光子晶体中引入某种程度的 缺陷后，
当频率在缺陷态频率范围
内的光子进入光子晶体后就会被束缚在缺陷的位置。
如果光子离开缺陷处，
其立
刻就会衰减。
根据缺陷的种类不同，
光子局域也有 不同的性状和特性。
点缺陷就
像被全反射墙包围起来，
利用点缺陷可以将光子束缚在特 定的位置，
光无法从这
个位置向任何方向传播，
形成一个类似微腔的能量密度共振场。
线缺陷就像一个
波导，
光子在其中只能沿线缺陷方向传播。
平面缺陷像一个完 善的反射镜，
光被
局域在缺陷平面上
[7]
。















4
/
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第二章

一维光子晶体的能带结构研究


2.1
研究一维光子晶体能带的方法

2.1.1
特征矩阵法

薄膜光学理论中介绍光束的干涉原理道，当膜的光学厚度
d
为入射波长
λ
0
的
1/4
时，
膜的反射率
R
最大。
对于光子晶体来 说，
要想取得高反射率的材料，
晶
体的光学厚度
d
一般取为入射电磁 波波长的
1/4
，
这个波长称之为光子晶体的中心
波长或工作波长。


图
2.1.1
一维光子晶体膜上的场


利 用光学理论推导一维光子晶体的特征矩阵，如果只考虑光子晶体的一层
膜，其入射场、反射场、透射场情 况如上图。一维光子晶体的特征矩阵为

(
2.1.1)

其中，参数
=

,
分别为真空中的介电常数和磁导率。

一维光子晶体的反射系数
r
和透射系数
t
可以由特征矩阵推导得出：


(2.1.2)

5
/
25


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(
2.1.3)
而反 射率
R
等于反射系数
r
乘以它的共轭复数
,
其中
A
、
B
、
C
、
D
为特征矩阵的
4
个 元素：

。
(
2.1.4)


2.1.2
平面波展开法


平面波展开法（
plane wave expansion method
简称:PWM
）是从固体物理能
带计算中发展过来的，
是光子晶体理论分析中应用最早 、
最广的一种方法。
在计
算光子晶体能带结构时，
平面波展开法的基本思路是 应用结构的周期性把电磁场
以平面波的形式展开，
将
Maxwell
方程组从 实空间变换到离散
Fourier
空间，
将能
带计算简化为对代数本征值，求 解该方程的本征值便得到传播的光子的本征频
率。
此方法简便，
易于上手，
用 到了介质分布的周期性，
且只考虑了单色光的传
输，
属于谱域的方法。
但对于 实际的光子晶体，
在三个方向上均可能是有限的并
可能存在各种缺陷时，可能会受到计算能力的 制约而无法得到结果。

从
Maxwell
方程组到光子晶体本征方程

假设在研究的光子晶体中，
不存在净电荷且电流 为零，
根据
Maxwell
方程组：

(
2.1.5)

(
2.1.6)

(
2.1.7)


(2.1.8)

式中，
D
为电位移矢量，
B
为磁 感应强度矢量，
E
为电场强度矢量，
H
为磁场强
度矢量。
在 此我们进一步假定，
D
与
E
只存在线性关系，
忽略高阶关系，
同时介质
为非磁性介质，则有：


(2.1.9)
式中，
与

6
/
25


分别为真空中的介电常数和磁导率，
为相对介电常数，它
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是空间位置
r
的函数。将电场强度矢量及磁场强度矢量写成简谐模式
:

(2.1.10)
将上式带入麦克斯韦方程组的
(2.1.7)
和
(2.1.8)
有：


(2.1.11)


(2.1.12)
将< br>(2.1.11)
两边取旋度，并将
(2.1.12)
代入有：



（
2.1.13
）

将(2.1.12)
两边取旋度，并将
(2.1.11)
代入，有：


（
2.1.14
）

由此我们得到光子晶体中了电场强度矢量及磁场强度矢量所满足的本征方
程。


用平面波展开法求解光子带结构的目的是获得本征矩阵
Θ
并计算其本 征值。
该算法的执行步骤可以总结如下：

1
、设定光子晶体的结构参数，包 括晶格常数、介质的介电常数、几何参数
等，并计算倒格子空间的基矢。

2、设定平面波波数。原则上，晶体有多少个原胞，就应该采用选取多少个
平面波，才能得到精确解。 但我们知道，由于
Fourier
级数的收敛性，低频的平
面波贡献远大于高频，因此 可以在一定的空间频率截断级数而不造成过大的误
差。
因此，
虽然所取平面波的个数越 多，
计算结果就越精确，
但是其占用计算机
内存资源也就越多，
导致计算时间 增加，
合理选取平面波的个数就非常值得注意。

3
、计算介质介电函数的
Fourier
变换系数。

4
、构造本征矩阵
Θ

5
、令波矢
k
沿简 约布里渊区边界扫描一周，不同的
k
值，得到不同的
Θ
矩阵
和本征值 ，也就得到
k-
的色散关系，即光子晶体的光子带结构。



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2.2
一维光子晶体的能带结构研究

如果我们将一维光子晶体假设成同 性且介质是线性的，
并假设电场和磁场均
为简谐模式，代入麦克斯韦方程求出磁场强度矢量所满 足的本征方程：


（
2.2.1
）

其中：
ε
(r)
为介电常数，
ω
为光波的角频率，
c
为光速。
而且方程只在特定
的频率处有解，
而在某些频率区域没有解，这样就形成了类似半导体晶体的能带
结构，称之为光子能带（
photonic band
）
[8]
。

一维光子晶体只在一个方向上存在禁带，如果光子落在其带隙内，
则此频率
的光在该光子晶体中无法沿禁带的方向传播。


图
2.2.1

光子晶体的能带图

上图是一 个典型的光子晶体能带图，
竖轴表示频率，
灰色区域表示能隙，
在
这段区域的 频率波都不能传播。

当一维光子晶体的周期数较大时，
其结构为周期性结构。
光子晶体周期间的
电场和磁场可表示为：

(2.2.2)
根据
Bloch's theorem
可推出两个相邻周期间的电场和磁场表达式：


8
/
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