生活中的排列组合

2021年2月18日发(作者：前列腺增生治疗方法)
生活中的排列組合


研究目錄

壹
.
研究動機

貳
.
研究目的

參
.
資料分析

一
.
排列和組合的定義

二
.
排列和組合的比較

三
.
排列和組合的實例

四
.
題目設計

肆
.
活動設計

一
.
研究設計
-
排列組合

二
.
研究設計
-
純粹組合

伍
.
結果

一
.

感想

陸
.
參考資料




壹
.
研究動機

我最喜歡玩撲克牌。只要一拿到撲克牌，我就會將他 們由小排到
大，由大排到小。因為這樣的排列方式可以讓我方便掌握手中的每一
張牌。而且，只 要將撲克牌「排列」好，就算是拿到不理想的組合點
數，經由巧妙「排列」後，有時候還能反敗為勝呢！ 這就是「排列」
的奧秘。

而學校生活中的社團也時常見到運用組合的方式
，
以籃球校隊來
說，有時候只要選出少數的幾個人分成兩組，就可以打全場。這是生
活中 的「組合」實例。

既然生活中到處都有「排列」與「組合」的例子。我想利用這次
資 優班的專題研究
，
進一步去探究甚麼是
「排列」
？甚麼是
「組合」< br>？
排列與組合有甚麼不同？生活上還有哪些例子應用到排列與組合？

貳
.
研究目的

藉由這次的專題研究，我想深入探討排列與組合內容 與規則，比較排
列與組合的不同，並嘗試去尋找、設計有關排列與組合的題目，證明
生活上的確 有排列與組合的例子。





参
.
文獻探討

一
.
名詞定義

在介紹排列與組合的定義之前，我們先來探討幾個重要的名詞：

（
1
）

代數
m
、
n
：

1.

m
2.

n
【
m
＜
n
】

※在
26
個英文單字中，我選擇
m
跟
n
，因為我的參考書籍上
也選擇
m
、
n
，但其他網頁也有用其他的英文字，所以我認為
所有的英文字母都可 以用，但是其中一個數小於或等於另一
個數。

（
2
）

排列與組合的代詞：

1.

排列：
Permutations
，簡稱
P
2.

組合：
Combination
，簡稱
C
接下來就讓我們一起進入排列與組合的世界吧！

〈
1
〉
排 列
：
從
n
件事情中，
任選
m
件事物
〈但不 可重複〉
後，

排成一列
，就叫做從
n
中取
m的排列
，例如
：在日常生活中，
把一些事物排在一起，計算有多少種排法，就是「 排列」問
題。公式由法國數學家帕斯卡﹝
1623-1662
﹞發現：
p
（
n
，
m
）＝
n
（
n-1
）
（
n-2
）
（
n-3
）
、、、
（
n-m+1
）











〈
2
〉組合：從
n
個不同物中，每 次取
m
個不同物為一組，且
同一的物件不計前後順序，就叫做
n
中取
m
的組合，例如：
在籃球比賽中
，
把參賽隊分為幾個組
，< br>這種分組問題就是
「組
合」問題，此外，它還有重複組合這種組合方式，公式由法
國數學家帕斯卡﹝
1623-1662
﹞發現：

c
（
n
，
m
）＝
p
（
n
，
m
）＝
n
（
n-1
）
（
n-2
）
（
n-3）…（
n-m+1
）















p
（
m
，
m
）















m
！

※複雜吧！在每個（）跟（）之間，因為為了快速，而略寫 了乘號。
而「
m
！」代表
m
階層也就是
m
（
m-1
）
（
m-2
）
（
m-3
）……
1
二
.

排列組合的比較

或許你已經看過我之前的排列與組 合的定義介紹
，
但你可能還想不出
排列與組合有甚麼不同，所以我就做了下列的表格， 希望你能夠更了
解它們的不同。


三
.
排列和組合實例

排列
.
1.
一兔穴有進出口

4
處，問由不同進出口進出的方法有幾種？


解答：

可將此問題分為進與出
2
個步驟來完成。進的方法有
4
種，對每一種
進的方法有

3
個出口可以出去，故由乘法原理可知，由不同一口出
入的方法有
4 × 3 = 12
種。


2.
某商店販賣
5
家廠商出品的牙膏，而每一家廠商出品的牙膏都有

3
種大小不同的包裝
，
又每種包裝均分含有氟化物及不含氟化物的

2
種，今某人欲在此商店選購一支牙膏，問方法有幾種？


解答：

可將此問題分為

3
個步驟來完成。

第一步驟是從

5
家廠商中選擇
一家，共有

5
種選法。第二步驟是從

3
種包裝中選擇一種，共有

3

英文名字

可否重複

發現公式者

排列

Permutations
不可重複

法國數學家帕斯卡

組合

Combination
不計較前後順序

法國數學家帕斯卡

有多少種排列
4種，一般排列、不完全相異
2
種，一般組合和重複
或組合的方式

的排列、重複排列及環狀排列

組合

種選法。第三步驟是從有無氟化物中選擇一種，共有

2
種選法。故
由乘法原理可知選購一支牙膏的方法共有

5 × 3 × 2
＝

30
種。


3.
甲、乙二人在排成一列的

5
個座位中選坐相連的兩個座位，共有
多少種坐法？

解答：

可將此問題分為

3
個步驟來完成。

第一步驟是從

5
個座位中選出
相鄰的

2
個座位，共有

4
種選法。

第二步驟是選定

2
個座位後，
由甲先選坐
，
甲可任選其一
，
故有

2
種選法
。

第三步驟是甲坐定後，
由乙選坐，因甲已坐好，乙毫無選擇，故僅有

1
種選法。

由乘法原
理知完成此件事，總共有

4 × 2 × 1 = 8
種方法。


4.
將
ABCD
排成一列，試問共有多少排法？


解答
:
將四個不同的字母排成一列，共有

4
×
3
×
2
×
1
＝
24
種排法。


5.
有男生

5
人

，
女生

3
人要排成一列
，
其中女生

3
人要相鄰並排，
請問共有多種排法？


解答
:

由於女生要相鄰並排，因此可先將

3
位女生視為一體，再與

5
位男
生排成一列，因此共有
6
！種排法，而在每一種排法中，女 生的排法
又有

3
！種，因此共有
6
！×
3
！＝
720
×
6
＝
4320
種排法。

組合
.
1.
若要從
A
，
B
，
C
，
D
，
E
五個人之中不考慮順序選出三個人作為一
組，參加三對三籃球賽，將會有多少種選法
?

解答：

從此

5
個人當中選

3
個人出來排列，若考慮選擇的順序，則共有

5
×
4< br>×
3
種情形，因題意是不考慮順序所以要再除以
3
×
2
×
1
，就是有
10
種選法。

即
C
（
5
，
3
）＝
10
2.< br>從
6
個男生，
5
個女生當中選出一個五人的童子軍，但規定男女生至少各有

2
人，問有多少種選法
?

解答：


我們分
2
種情形來討論
:

選出

2
個女童軍，
3
個男童軍的方法數為
:

C
（
5
，
2
）×
C
（
6
，
3
）＝
10
×
20
＝
200
選出

3
個女童軍，
2
個男童軍的方法數為
:

C
（
5
，
3
）×
C
（
6
，
2
）＝
10
×
15
＝
150
所以，總共有
200
＋
150
＝
350
種選法。

3.6
種不同的玩具分給甲乙丙三人，如果甲得
1
種，乙得
2
種，丙得
3
種，有幾種分法？

解答：

C
（
6
，
3
）×
C
（
3
，
2
）＝
20
×
3
＝
60
4.
從六男五女中任選四人，其中至少二男且至少一女的選法有多少
種？