安必先计划生育对我国人口数量的影响

2021年1月29日发(作者：石棉县医院)
数学建模竞赛

承


诺


书


我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电 子邮
件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问
题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的
,
如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料）
，必须按照规定的参考文献的表述方式在正
文引用处和 参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有 违反
竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。


我
们
参< br>赛
选
择
的
题
号
是
（
从
A/ B
中
选
择
一
项
填
写
）：















B



我
们的队号为：












29















参赛队员：
1.

























































2.



















































3.














































指导教师或指导教师组负责人：



数模组































日期：
2012
年
8
月
11
日






评阅编号（由评阅老师评阅前进行编号）
：




数学建模竞赛

编

号

专

用

页





评

阅

人




评

分




备

注



评阅编号：




评阅记录：










































计划生育对我国人口数量的影响

摘要

本文对中国的人 口增长趋势问题做了研究，
在计划生育政策影响下，
根据中
国生育的特点，
建 立了相关的预测模型。
对于人口的中短期预测，
本文建立离散
中国人口发展的
Leslie
模型和连续中国人口发展回归模型。

在计划生育的政策下，
综 合考虑有人不结婚、
有人不生育、
有人不想生第二
胎等因素下，
结合出生率和 死亡率来估计中国未来近十年的人口变化情况和人口
极限。据问题一的题意，本文提出两种模型来求解： 回归模型和

Leslie
预测模
型。模型一：线性回归模型通过
excel
模型画出线性图，但是得到图并不是很精
确，后又在用
eviews
来做图，然后得到关于出生率和死亡率的预测函数，从而
得到未来十年的人口数，最终求得人口极限为
140774
万人。模型二：则单从女
性方面考虑，划分年龄段，得到生育率变化函数 ，再结合
Leslie
预测模型求的
人口极限为
143084
万人。





问题二中计划生育的政策已经改变，
因此本文要将夫妻双方是否为独生子 女
看成性状来分析，
A
表示为非独生，
a
表示为独生，这样进行随机 性的组合，利
用孟德尔第一定律，从而建立中国人口发展的生物遗传学预测模型。综上分析，
进 而对
2012
至
2022
年人口数量的进行预测，
得到结果是人口极 限为
149039.6
万人。





问题三是根据问题一和问题二的求解来对计划生育政策进行合理的分析。
在
问题一二中可以看出 ，预测到
2022
年中国的出生率大于死亡率，但是两者之间
的差距越来越小，以此推 断以
2050
年为一个分界，在
2050
年之前，中国仍然
实行计划 生育政策，在
2050
年左右出生率与死亡率持平，人口数不再增加；在
2050年之后，有三种情况：一是双独或者从事特殊工作或者有特殊情况的可以
生两胎，
不是双独 按原来的计划生育政策；
二是每户家庭最多可以生两胎；
三是
放弃计划生育政策，让其 自然发展。










关键字



线性回归





Leslie
预测模型




人口极限


生物遗传学预测模型







一、问题重述


计划生育政策在我国已经 实行近
30
年，在这三十年中对于控制我国人口的
增长功不可没。
然而随着经 济的发展，
人们的生育愿望开始降低，
这个规律在欧
美、日本、韩国、新加坡都是如此 ，在中国也不会例外。所以，即使放弃计划生
育，人口也不会无限增长，而是有一个极限。所以现在有专 家提出来，应该放开
计划生育这个政策，不然会造成人口老龄化越来越严重。

现在我 国的计划生育政策是，
在城市都只能生一胎，
而在农村如果第一胎是
女孩，可以生第二 胎（不考虑其他有可能存在的不同政策）
。请综合考虑有人不
结婚、
有人不生育、有人不想生第二胎，
特别是富裕地区的人不愿生第二胎等因
素，回答以下问题：

1.

如果保持我国现在的计划生育政策不变，综合考虑出生率和死亡率，那么我国人口未来十年将如何变化，人口增长的极限是多少？

2.

有人提出 ，
计划生育政策可以逐步放开，
对于双独
（夫妻双方都是独生子女）
的可以允 许生两胎（允许生不代表一定会生）
，对于夫妻双方不是双独的，
还是按照原来的政策，那么， 我国人口的极限会是多少？

3.

你觉得合理的生育政策应该如何？



二、问题分析
< br>从上述题中，
可以明确题意是
在不同情况下，
通过预测来求得未来十年中国人口的变化以及的人口极限
。
本题并未给出相关的数据，
所以需要从网上寻找数< br>据（所有相关数据来自国家统计年鉴）。

问题一：
本文根据出生率和死亡率， 综合考虑有人不结婚、有人不生育、有
人不想生第二胎等因素来预测中国未来十年的人口变化和人口增长 极限
。模型
一：
首先在网上找到了中国
1980-2010
年的出生 率和死亡率数据，根据数据运用
excel
做出有关出生率和死亡率在这三十年的变化，再根据 曲线变化，拟合得出
函数，从而建立一个中国人口变化的回归模型，最后求得未来近十年人口变化，并且求得人口极限
。
模型二：
由于回归模型的一些局限性，
所以建立人口 预测的
Logistic
模型
,
先将女性年龄结构等间隔划分成
m
个年龄段，每隔
S
/
m
年一次，
不考虑同一时间间隔内女性人口数量的变化趋势，
结合不愿结婚和不愿生子 等因
素，再利用
Leslie
预测模型，从女性人口出生率和死亡率的变化出发，最 后利
用软件
matlab
编程实现可以得知未来十年的总人口数。

问题二：
由于现在我国的计划生育政策是，
在农村如果第一胎是女孩，
可以
生 第二胎（由先前假设，则
5
年后生育第二胎）
；然而在城市，则对于双独（夫妻
双方都是独生子女）
的可以允许生两胎
（由先前假设，
则
20%
的 城市夫妇不生育
第二胎）
，因此本文要将夫妻双方是否为独生子女看成性状来分析，
A
表示为非
独生，
a
表示为独生，这样进行随机性的组合，从而建立中国人口发 展的生物遗
传学预测模型。其中死亡率的未来几年数据由问题一的预测可得。所以进而对
201 2
至
2022
年人口数量的进行预测。

问题三中根据一二两题所求 得结果，对政策进行分析，从而得到比较完整、
比较好的生育政策。


三、基本假设

问题一：

1
、
将时间离散化，< br>鉴于男女人口通常有一个确定的比例，
假设男女性比重为
1:1
，
模型 主要考虑女性人口，由女性人口可以得知总人口数；

2
、假设女性最大年龄为
S
岁，将其等间隔划分成
m
个年龄段，不妨假设

S
为
m
的整数倍，每隔
S
/
m
年观察一次，不考虑同一时间间隔内人口数

量的变化
;

3
、不考虑生存空间等自然资源的制约
,不考虑意外灾难等因素对人口变化

的影响
;
4
、生育率仅与年龄段有关，存活率也仅与年龄段有关；



问题二：

1.

由在城市都只能生一胎得，假设在
201 0
年前城市夫妻双方都是独生子女只
能生一胎，从
2011
年开始政策开放， 之后允许生两胎。

2.

由题目知，特别是富裕地区的人不愿生第二胎，据 国家统计局的城市收入等
级表数据可得，
20%
以上属于高收入人群，故假设
20%
的城市夫妇不生育第
二胎。

3.

在农村中，由于 不同地区的政策不同，故假设如果农村夫妇第一胎为女孩，
则
5
年后生育第二胎。
4.

假设用多胞胎的数量来抵消那些不结婚的成年男女。

5.

据农村城市人口比重的数据可得，故假设人口迁移基本已经趋于稳定
1:1
。

6.

据人口性别比重的数据可得，故假设男女基本已经趋于稳定
1:1
。



四、符号说明


问题一：

模型一：

y
b







出生率的千分比

y
d







死亡率的千分比

x








x=1
时，时间为
1990
年，以此类推

k








k=1
时，时间为
2003
年，以此类推

N
i








某年的总人口数




模型二

s
i











存活的女性人数

j











年份数（
2011
年时，
i
=1
）

n
i
(
t
)









第
i
个年龄组次观察的女性总人数







j
年份数时女性人口的出生率

B
j
0
00



P
j










j
年份数时的人口数量







j
年份数时女性人口的死亡率

D
j
0
00




问题二：


i










年份数（
2011
年时，
i
=1
）

A










某人不是独生子女的性状

a










某人为独生子女的性状

AA









某夫妻两者都为独生子女的一种组合

Aa









某夫妻其中一个为独生子女的一种组合

aa









某夫妻两者都不是独生子女的一种组合

F
t










子
t
代的组合情况（
t
=1
10
）







i
年份数时人口的出生率

b
i
0
00



P
i










i
年份数时的人口数量







i
年份数时人口的死亡率

d
i
0
00



（还有一些具体的参数变量在各模型中进行具体说明）


五、模型建立

在网上搜得一批有关中国历年的出生率，死亡率的数据和其他信息见附录。

5.1
问题一：

5.11
模型一
：回归模型


已知
1980-2010
年的出生率、死亡率和自然增长率，其中需要注意 的是数据
是千分比。
表格中的数据看似很相近，
所以就需要作图来分析这些数据之间的 关
系。




图一

图一中表示出了出 生率、
死亡率和自然增长率在近三十年的变化趋势。
从图
中可以看出，对于出生率和自 然增长率在
1980
年到
1990
年这十年内是不稳定
的，有较为明 显的起伏，而在
1990
年到
2010
年呈逐年下降趋势，且下降得较
平稳；
对于死亡率，
其在近三十年内一直处于平稳缓慢增长趋势，
且变化在这张图上并不是很明显。


图二

出生率
25.0020.00
15.00
系列1
10.00
5.00
0.001
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
年份（1990=1）

图三




运用
excel
线性回归模型来求解问题，可以从中看出未来十年出生率和 死亡
率的大致趋势，以此来预测未来人口数，但是用这个方法求出的函数误差较大，
不能精细地 预测未来十年的人口数。


出生率：

下面是运用软件
eviews
来制图：


图四

出生率

上图是通过
eviews
得到的关于出生率的线性图。由此 图可以看到，在
1980
年
到
1989
年，出生率并不稳定，起伏较 大；而
1990
年到
2010
年出生率较前十
年平稳，呈稳定下降趋 势（如图三）
。





由于出生率在
1990
年后趋于平稳，为保证数据的有效性，选取与现在相近
且较稳定的数据，所以选取1990-2010
年的数据。在这个数据上拟合得到一个
函数：


















0
.
2
2
y
b
=
2
3.
6
x
3
-
2


























(1)




通过函数（
1
）
，可以预测
2
得到< br>011
年到
2022
的出生率：


年份
（
x=1
时，
时间为
1990
年）
，
以此类推

2012
（
x=23
）

2013
（
x=24
）

2014
（
x=25
）

2015
（
x=26
）

2016
（
x=27
）

2017
（
x=28
）

2018
（
x=29
）

2019
（
x=30
）

2020(x=31)
2021(x=32)
2022(x=33)
表一

出生率（千分比）

11.82
11.71
11.60
11.50
11.41
11.32
11.23
11.14
11.06
10.99
10.91
由上可知，
出生率在逐年下 降，
而且下降的趋势不是很快，
相邻的两个年份
之间出生率并没有很大的差别。


死亡率：

下面是运用软件
eviews
来制图


图五


死亡率

上图表示的是关于死亡率的线性图。从上图可以看出，
1 980
年到
1990
年死
亡率呈现复杂波动的曲线；而
2003年到
2010
年，死亡率的起伏较小，同样呈
现对数的关系。





图六


由图二可以看出死亡率的变化一直 不平稳，起伏较大，为了使结果更有效，
选取
2003
年到
2010
年的死亡率，如图五。在这个数据上拟合得到以下函数：

I
9
n
k
(
)
+
6.
2



















（
2
）










y
d
=
0.
4
0
4



通过函数（
2
）可以预测
2011
年到
2012
年 的死亡率：


年份
（
k=1
时，
时间为
2003
年），以此类推

2012
（
k=10
）

2013
（
k=11
）

2014
（
k=12
）

2015
（
k=13
）

2016
（
k=14
）

2017
（
k=15
）

2018
（
k=16
）

2019
（
k=17
）

2020
（
k=18
）

2021
（
k=19
）

2022
（
k=20)
表二

由上可知，死亡率在逐年下 降。但是，下降的速度不是很快，它是在缓慢下
降，且两个年份之间的死亡率相差不是很大。


7.19
7.22
7.26
7.29
7.32
7.35
7.38
7.40
7.42
7.45
7.47
死亡率（千分比）

根据出生率和死亡率可以得到自然增长率：

年份

2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
表三

从预测的出生率和死亡率可以看出虽然出生率一直在下降，
死亡率一直 在上
升，
但是出生率始终大于死亡率，
那么自然增长率则是在逐年下降的，
所 以人口
则会一直在增加。
在已知自然增长率的情况下，
就可以通过查找资料得到近三十
年来的总人口变化数，然后通过计算得到未来十年的人口数。


年份

2012
2013
总人口数（万人）

135357
135965
自然增长率（千分比）

4.63
4.49
4.34
4.21
4.09
3.97
3.85
3.74
3.64
3.54
3.44
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022


























表四


136555
137130
137691
138238
138770
139289
139796
140291
140774
所以 当到
2022
年时，全国总人口数是
140774
万人。


5.12
模型二
：
Leslie
预测模型


对中国人口发展的
Leslie
预测模型分析

由于中国男女性比 重接近于
1:1
，
先将女性年龄结构等间隔划分成
m
个年龄
段，
每隔
S
/
m
年一次，
不考虑 同一时间间隔内女性人口数量的变化趋势，
其中据
调查的数据可得，不愿结婚和不愿生子的人数 占
10%
，再利用
Leslie
预测模型，
从女性人口出生率和死 亡率的变化，
后利用软件
matlab
编程实现可以得知未来十
年的总人口数 。


Leslie
矩阵预测模型的建立：